画角と解像度から内部パラメータ行列を作る

ピンホールカメラモデルのモデルパラメータである内部パラメータは、様々な形式で記述されるが 画角と解像度だけが分かっている場合に、どのようにOpenCVなどで用いられる内部パラメータ行列(camera matrix)を構成すればよいか解説する。

画角はカメラが映す範囲を直接角度として測ることができるので 画角だけがおおよそ分かっておりスペック等から解像度だけが 知り得る内部パラメータに関係する情報である場合が時々ある。 主点は画像のど真ん中、アスペクト比は1:1だとして、 このような場合、内部パラメータ行列はどのように設定すれば良いのか？

• $X$, $Y$, $Z$:　シーン点のカメラ座標
• $f$:　焦点距離
• $U$, $V$:　シーン点の画像上の座標 [mm]
• $u$, $v$:　シーン点の画像上の座標 [pixel]
• $w$, $h$:　撮像素子の画素数
• $W$, $H$:　撮像素子のサイズ

ピンホールカメラにおける透視投影変換といえば 教科書などでは大抵次のような式が登場する。 $$U=f\frac{X}{Z}$$ ただし、大抵単位の変換が無視されていて三次元座標$X,Z$も焦点距離$f$も、 画像上の座標$U$もmm単位が前提で、単位は省略して書かれることが多い。 ここでは画素単位の画像上の座標$u$もちゃんと考慮する。

mm単位での撮像素子のサイズ$W$と撮像素子の画素数$w$の比から 画素単位の画像上の座標$u$次の様に書ける。 $$u=\frac{w}{W}U=w\frac{f}{W}\frac{X}{Z}$$

ここで画角$\theta$がわかっていれば$\tan\theta=\frac{W/2}{f}$と書けるので、 次式のように書け、この$\tan\theta$こそがOpenCVなどの内部パラメータ行列の要素として登場する$f_x$に相当することが分かる。 $$u=\frac{w}{2\tan \theta }\frac{X}{Z}=f_x\frac{X}{Z}$$ 画角が本質的なパラメータなので実際の焦点距離$f$も撮像素子のサイズ$W$も必要ないことがここから分かる。

上の図は画像の水平方向のみのものだけど，もう一方も同様になる．

$$v=\frac{h}{H}V=h\frac{f}{H}\frac{Y}{Z}$$

ここで$w:h=W:H$なので$\frac{h}{H}=\frac{w}{W}$であり

$$v=\frac{w}{W}f\frac{Y}{Z}=\frac{w}{2\tan \theta }\frac{Y}{Z}$$

と，水平方向と同じになる．画像の左上が原点だとすると結局内部パラメータ行列$K$は次のようになる。

$$K=\left[\begin{array}{ccc}\frac{w}{2\tan \theta }& 0& w/2\\ 0& \frac{w}{2\tan \theta }& h/2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$